液化氣流量計信號的特點及稀疏傅里葉變換的理論分析
點擊次數(shù)：2315 發(fā)布時間：2021-01-08 06:43:58
摘要：傳統(tǒng)的渦街信號處理方法主要是用傅里葉變換，由于傳統(tǒng)的傅里葉變換的時間復(fù)雜度與其分析的信號長度成正比，采樣點數(shù)越多其頻譜譜線越接近理想狀態(tài)，但需要較大的運算時間。 針對這個問題，提出了采用稀疏傅里葉變換分析渦街流量信號的方法，利用實驗數(shù)據(jù)進(jìn)行 Matlab 仿真，驗證了該方法的性能優(yōu)于傳統(tǒng)的方法，不僅提高了對強噪聲的抗干擾能力還加快了計算速度。
近半個世紀(jì)以來， 液化氣流量計因其測量精度高、 無可動部件、測量精度高等優(yōu)點得到了迅猛的發(fā)展。 液化氣流量計主要測量部件為壓電傳感器，其易受到噪聲的干擾，如管道振動、電磁干擾、流體的低頻擺動等。 在含有噪聲的信號的中提取出有用的渦街信號， 國內(nèi)外眾多研究學(xué)者對渦街信號的處理方式主要有FFT 的周期圖法、互相關(guān)法、自適應(yīng)陷波濾波法、小波分析法和數(shù)字跟蹤濾波方法等 。 但是這些方法對于含有強噪聲的信號測量精度不高或錯誤，即噪聲頻率在渦街信號頻率范圍內(nèi)，而噪聲的幅值高于渦街信號的幅值。 本文提出一種基于稀疏傅里葉變換的渦街信號分析方法， 該方法不僅具有很高的實時性而且對含有強噪聲的信號也能夠保證測量的準(zhǔn)確性。
1 稀疏傅里葉變換的理論分析
快速傅里葉變換（ Fast Fourier Transform ， FFT ）的時間復(fù)雜度為 O （ nlogn ），與離散傅里葉變換（ Discrete Fourier Trans-form ， DFT ）的復(fù)雜度 O （ N 2 ）相比，運算速度發(fā)生了質(zhì)的飛躍，尤其是隨著采樣點數(shù) N 的增加這種優(yōu)勢就越加明顯 。但是隨著時代的發(fā)展，需要實時處理的信號越來越多，即便是 FFT 對于這樣的需求也難以滿足。 傳統(tǒng)的 FFT 只考慮到了信號的長度 N 需要為 2 的整數(shù)次冪，并未考慮到信號的自身的特性，如稀疏性。
在實際生活中常見的信號的傅里葉系數(shù)只有小部分是我們感興趣的，其大部分都是可以忽略的，如圖像和語音信號 。 針對這樣的信號能否找到一種更加快速的算法來計算其傅里葉變換，MIT的團(tuán)隊給出了答案 。 該團(tuán)隊提出了稀疏傅里葉變換（ Sparse Fourier Transform ， SFT ）， 該算法利用了信號頻域的稀疏性，先對信號進(jìn)行分“桶”，將長的 DFT 運算變?yōu)檩^短的運算，再根據(jù)一定的規(guī)則重構(gòu)了信號的頻譜，其運算速度為 FFT 的十倍甚至百倍 。
稀疏傅里葉變換使用的先決條件就是分析的信號具有稀疏性，設(shè) x （ n ）是長度為 N 點的有限長序列，則該序列的 N 點離散傅里葉變換逆變換為：
其中 Ω N 表示集合 邀0 ， 1 ，……， N－1妖 。 只有 K （ K塏N ）個非零的傅里葉系數(shù)，只通過信號 x （ n ）的部分采樣值來確定這 K 非零傅里葉系數(shù)與位置。
1．1 頻域降采樣
參數(shù) B 整除 N ，若想要以等間隔 N／B 對信號頻域進(jìn)行降采樣，即：
混疊后頻域譜線由 N 減少到 B ，信號點數(shù)成倍較少，這正是SFT 算法復(fù)雜度為亞線性的關(guān)鍵原因之一。
1．2 稀疏傅里葉變換運算步驟
稀疏傅里葉變換包括頻譜重排、加窗函數(shù)、頻域降采樣、定位、估值與迭代等運算過程。
1．2．1 頻譜重排
頻譜重排的目的是使各大值點均勻分布， 分桶時大頻點不要分到同一個桶中，當(dāng)兩個或兩個以上大值點在同一桶中時，無法求解取大值點的頻率和位置。p （ n ） ＝x ｛ mod ［ σ · n ， N ］｝， nε ［ 1 ， N ］ （ 4 ）式中 σ 為一個隨機(jī)數(shù)，且為奇數(shù)，并滿足 mod ［ σ×σ －1 ， N ］ ＝1 ，這就保證了 σ 與 N 互為質(zhì)數(shù)， σ －1 為 σ 的模逆算子。 根據(jù)傅里葉變換可知上式中的 p （ n ）， x （ n ）滿足：P （ k ） ＝X ｛ mod ［ σ－1 · k ， N ］｝， σ ， kε ［ 1 ， N ］ （ 5 ）通過式（ 4 ）、（ 5 ）知道信號時域上的重排也會導(dǎo)致頻譜信號位置上發(fā)生變換。
1．2．2 窗函數(shù)濾波器
為了保證算法的效率且防止頻譜泄漏，需要設(shè)計一個在時域和頻域能量都集中的濾波器， 根據(jù)文獻(xiàn)該濾波器的為 sinc 窗函數(shù)與高斯窗函數(shù)的卷積，該窗函數(shù)具有過渡帶陡峭、通帶平滑等特點。
1．2．3 哈希映射
定義一個映射區(qū)間 Ω N →Ω B 的哈希函數(shù)： h σ （ k ） ＝round （ σ ·k · N／B ）， round 表示四舍五入， 將 Ω N 中每一個點都映射到 Ω B中。 定義偏移量： o σ （ k ） ＝σ · k－h(huán) σ （ k ）·（ N／B ）；定義集合 J ，集合 J包含了 Z （ k 中 K 個較大幅值的坐標(biāo) k ；通過哈希反映射得到 I r ，即 I r ＝邀kε ［ 0 ， N－1 ］ ｜h σ （ k ） εJ妖 ，*后從中取出 K 個大值點對原信號的頻率估計。
1．2．4 循環(huán)投票
對于每一個 kεI ， X‘（ k ） ＝Z （ h σ （ k ） W Nτk／G （ o σ （ k ））頻率估計值。 每一次定位循環(huán)得到一個坐標(biāo)集合 I r ，在 L＝O （ log 2 N ）次循環(huán)中，對任意坐標(biāo) kεI＝I 1 U …… υI r ，若出現(xiàn)次數(shù)大于 L／2 ，則將其歸入集合 I‘ 中，并認(rèn)為集合 I‘ 包含所有目標(biāo)頻點坐標(biāo)。 對每一個kεI‘ ，取 L 次循環(huán)得到 X （ k ）的中值作為*終的頻率值，即：X （ k ） ＝median （ 邀X r （ k ） ｜rε邀1 ，……， L)
2 渦街信號的特點
在一定范圍內(nèi)，流體流速 V 與渦街頻率 f 有以下關(guān)系：
f＝πK 1 VD2／4 （ 6 ）
其中 K 1 為儀表系數(shù)， D 為管道直徑。在管道口徑 D 不變，流體密度不變的情況下，渦街傳感器的輸出幅值與 f 2 成正比，具體表達(dá)形式可以根據(jù)實驗測出。本文以 50mm 口徑氣體實驗為例，數(shù)據(jù)如表 1 所示：
從表 1 的氣體流量的實際幅值和擬合幅值的誤差可以看出，渦街信號的幅值在理論值附近波動，且波動的范圍一定，則幅頻關(guān)系更一般的形式表達(dá)如下：
其中 c 為系數(shù)， δ 為相對誤差限， 其示意圖如圖 2 所示，圖中實線為幅頻關(guān)系的理論擬合曲線， 而虛線為幅值波動的閾值曲線。根據(jù)實驗的數(shù)據(jù)，渦街信號幅值波動的相對誤差為 ±10％ 。
3 實驗仿真
本實驗采用基于對管道振動信號進(jìn)行分析， 其采樣點數(shù)為2048 ，采用稀疏傅里葉變換對數(shù)據(jù)進(jìn)行頻譜分析。 如圖 3 所示。
圖 4 是用 FFT 算法對渦街時域信號分析后得到的頻譜圖，其中渦街信號頻率為 141．8Hz ，振動噪聲信號頻率為 25．34Hz 。從圖中可以看出，信號是稀疏的，稀疏度 K＝2 。
從圖 5 可以看出 SFT 算法能夠很好恢復(fù)，對渦街信號的頻率恢復(fù)沒有誤差，而幅值的誤差不超過 1％ ，這對含有強振動噪聲的渦街信號精確測量至關(guān)重要；圖 6 是經(jīng) SFT 頻譜分析所得到的數(shù)據(jù)通過幅頻特性曲線來辨別是噪聲信號還是渦街信號。通過幅頻關(guān)系的信號處理方法可以從含有振動的混合信號中識別渦街信號，從而達(dá)到提高液化氣流量計抗振動性能的目的。
現(xiàn)在分析 SFT 算法的優(yōu)越性。 基于哈希映射的稀疏傅里葉變換算法的時間復(fù)雜度為
由前文可知 FFT 算法時間復(fù)雜度為 O （ Nlog 2 N ）。 隨著信號長度 N 的增長，兩者的時間復(fù)雜度也會發(fā)生變化。 采用時間復(fù)雜度的數(shù)量級的比值來刻畫這種變化：
當(dāng) K＝2 ，SFT 算法與 FFT 算法的時間復(fù)雜度的比值關(guān)系如圖 7 所示。處理的 ROBLOCAM－CN 算法進(jìn)行對比，其估計誤差率 eer(t)對比效果如圖 4 所示。從對比結(jié)果中可以看到，若不對通信噪聲進(jìn)行處理則各自由節(jié)點和墻的位置始終存在偏差 ， 而 在ROBLOCAM－CN 算法下所有的自由節(jié)點與墻都迅速收斂至各自的精確位置，驗證了本算法的有效性和魯棒性。 各節(jié)點的收斂軌跡和*終的定位與環(huán)境構(gòu)建效果如圖 5 所示。
5 結(jié)束語
本文提出了一種噪聲情形下新穎的室內(nèi)定位與環(huán)境構(gòu)建算法，該算法不需要無線傳感器網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點配備激光傳感模塊，只需要通過節(jié)點間的射頻信號即可實現(xiàn)對周圍環(huán)境的感知，為室內(nèi)定位與環(huán)境構(gòu)建技術(shù)提供了一種經(jīng)濟(jì)且可靠的解決方案。
近半個世紀(jì)以來， 液化氣流量計因其測量精度高、 無可動部件、測量精度高等優(yōu)點得到了迅猛的發(fā)展。 液化氣流量計主要測量部件為壓電傳感器，其易受到噪聲的干擾，如管道振動、電磁干擾、流體的低頻擺動等。 在含有噪聲的信號的中提取出有用的渦街信號， 國內(nèi)外眾多研究學(xué)者對渦街信號的處理方式主要有FFT 的周期圖法、互相關(guān)法、自適應(yīng)陷波濾波法、小波分析法和數(shù)字跟蹤濾波方法等 。 但是這些方法對于含有強噪聲的信號測量精度不高或錯誤，即噪聲頻率在渦街信號頻率范圍內(nèi)，而噪聲的幅值高于渦街信號的幅值。 本文提出一種基于稀疏傅里葉變換的渦街信號分析方法， 該方法不僅具有很高的實時性而且對含有強噪聲的信號也能夠保證測量的準(zhǔn)確性。
1 稀疏傅里葉變換的理論分析
快速傅里葉變換（ Fast Fourier Transform ， FFT ）的時間復(fù)雜度為 O （ nlogn ），與離散傅里葉變換（ Discrete Fourier Trans-form ， DFT ）的復(fù)雜度 O （ N 2 ）相比，運算速度發(fā)生了質(zhì)的飛躍，尤其是隨著采樣點數(shù) N 的增加這種優(yōu)勢就越加明顯 。但是隨著時代的發(fā)展，需要實時處理的信號越來越多，即便是 FFT 對于這樣的需求也難以滿足。 傳統(tǒng)的 FFT 只考慮到了信號的長度 N 需要為 2 的整數(shù)次冪，并未考慮到信號的自身的特性，如稀疏性。
在實際生活中常見的信號的傅里葉系數(shù)只有小部分是我們感興趣的，其大部分都是可以忽略的，如圖像和語音信號 。 針對這樣的信號能否找到一種更加快速的算法來計算其傅里葉變換，MIT的團(tuán)隊給出了答案 。 該團(tuán)隊提出了稀疏傅里葉變換（ Sparse Fourier Transform ， SFT ）， 該算法利用了信號頻域的稀疏性，先對信號進(jìn)行分“桶”，將長的 DFT 運算變?yōu)檩^短的運算，再根據(jù)一定的規(guī)則重構(gòu)了信號的頻譜，其運算速度為 FFT 的十倍甚至百倍 。
稀疏傅里葉變換使用的先決條件就是分析的信號具有稀疏性，設(shè) x （ n ）是長度為 N 點的有限長序列，則該序列的 N 點離散傅里葉變換逆變換為：
其中 Ω N 表示集合 邀0 ， 1 ，……， N－1妖 。 只有 K （ K塏N ）個非零的傅里葉系數(shù)，只通過信號 x （ n ）的部分采樣值來確定這 K 非零傅里葉系數(shù)與位置。
1．1 頻域降采樣
參數(shù) B 整除 N ，若想要以等間隔 N／B 對信號頻域進(jìn)行降采樣，即：
混疊后頻域譜線由 N 減少到 B ，信號點數(shù)成倍較少，這正是SFT 算法復(fù)雜度為亞線性的關(guān)鍵原因之一。
1．2 稀疏傅里葉變換運算步驟
稀疏傅里葉變換包括頻譜重排、加窗函數(shù)、頻域降采樣、定位、估值與迭代等運算過程。
1．2．1 頻譜重排
頻譜重排的目的是使各大值點均勻分布， 分桶時大頻點不要分到同一個桶中，當(dāng)兩個或兩個以上大值點在同一桶中時，無法求解取大值點的頻率和位置。p （ n ） ＝x ｛ mod ［ σ · n ， N ］｝， nε ［ 1 ， N ］ （ 4 ）式中 σ 為一個隨機(jī)數(shù)，且為奇數(shù)，并滿足 mod ［ σ×σ －1 ， N ］ ＝1 ，這就保證了 σ 與 N 互為質(zhì)數(shù)， σ －1 為 σ 的模逆算子。 根據(jù)傅里葉變換可知上式中的 p （ n ）， x （ n ）滿足：P （ k ） ＝X ｛ mod ［ σ－1 · k ， N ］｝， σ ， kε ［ 1 ， N ］ （ 5 ）通過式（ 4 ）、（ 5 ）知道信號時域上的重排也會導(dǎo)致頻譜信號位置上發(fā)生變換。
1．2．2 窗函數(shù)濾波器
為了保證算法的效率且防止頻譜泄漏，需要設(shè)計一個在時域和頻域能量都集中的濾波器， 根據(jù)文獻(xiàn)該濾波器的為 sinc 窗函數(shù)與高斯窗函數(shù)的卷積，該窗函數(shù)具有過渡帶陡峭、通帶平滑等特點。
1．2．3 哈希映射
定義一個映射區(qū)間 Ω N →Ω B 的哈希函數(shù)： h σ （ k ） ＝round （ σ ·k · N／B ）， round 表示四舍五入， 將 Ω N 中每一個點都映射到 Ω B中。 定義偏移量： o σ （ k ） ＝σ · k－h(huán) σ （ k ）·（ N／B ）；定義集合 J ，集合 J包含了 Z （ k 中 K 個較大幅值的坐標(biāo) k ；通過哈希反映射得到 I r ，即 I r ＝邀kε ［ 0 ， N－1 ］ ｜h σ （ k ） εJ妖 ，*后從中取出 K 個大值點對原信號的頻率估計。
1．2．4 循環(huán)投票
對于每一個 kεI ， X‘（ k ） ＝Z （ h σ （ k ） W Nτk／G （ o σ （ k ））頻率估計值。 每一次定位循環(huán)得到一個坐標(biāo)集合 I r ，在 L＝O （ log 2 N ）次循環(huán)中，對任意坐標(biāo) kεI＝I 1 U …… υI r ，若出現(xiàn)次數(shù)大于 L／2 ，則將其歸入集合 I‘ 中，并認(rèn)為集合 I‘ 包含所有目標(biāo)頻點坐標(biāo)。 對每一個kεI‘ ，取 L 次循環(huán)得到 X （ k ）的中值作為*終的頻率值，即：X （ k ） ＝median （ 邀X r （ k ） ｜rε邀1 ，……， L)
2 渦街信號的特點
在一定范圍內(nèi)，流體流速 V 與渦街頻率 f 有以下關(guān)系：
f＝πK 1 VD2／4 （ 6 ）
其中 K 1 為儀表系數(shù)， D 為管道直徑。在管道口徑 D 不變，流體密度不變的情況下，渦街傳感器的輸出幅值與 f 2 成正比，具體表達(dá)形式可以根據(jù)實驗測出。本文以 50mm 口徑氣體實驗為例，數(shù)據(jù)如表 1 所示：
從表 1 的氣體流量的實際幅值和擬合幅值的誤差可以看出，渦街信號的幅值在理論值附近波動，且波動的范圍一定，則幅頻關(guān)系更一般的形式表達(dá)如下：
其中 c 為系數(shù)， δ 為相對誤差限， 其示意圖如圖 2 所示，圖中實線為幅頻關(guān)系的理論擬合曲線， 而虛線為幅值波動的閾值曲線。根據(jù)實驗的數(shù)據(jù)，渦街信號幅值波動的相對誤差為 ±10％ 。
3 實驗仿真
本實驗采用基于對管道振動信號進(jìn)行分析， 其采樣點數(shù)為2048 ，采用稀疏傅里葉變換對數(shù)據(jù)進(jìn)行頻譜分析。 如圖 3 所示。
圖 4 是用 FFT 算法對渦街時域信號分析后得到的頻譜圖，其中渦街信號頻率為 141．8Hz ，振動噪聲信號頻率為 25．34Hz 。從圖中可以看出，信號是稀疏的，稀疏度 K＝2 。
從圖 5 可以看出 SFT 算法能夠很好恢復(fù)，對渦街信號的頻率恢復(fù)沒有誤差，而幅值的誤差不超過 1％ ，這對含有強振動噪聲的渦街信號精確測量至關(guān)重要；圖 6 是經(jīng) SFT 頻譜分析所得到的數(shù)據(jù)通過幅頻特性曲線來辨別是噪聲信號還是渦街信號。通過幅頻關(guān)系的信號處理方法可以從含有振動的混合信號中識別渦街信號，從而達(dá)到提高液化氣流量計抗振動性能的目的。
現(xiàn)在分析 SFT 算法的優(yōu)越性。 基于哈希映射的稀疏傅里葉變換算法的時間復(fù)雜度為
由前文可知 FFT 算法時間復(fù)雜度為 O （ Nlog 2 N ）。 隨著信號長度 N 的增長，兩者的時間復(fù)雜度也會發(fā)生變化。 采用時間復(fù)雜度的數(shù)量級的比值來刻畫這種變化：
當(dāng) K＝2 ，SFT 算法與 FFT 算法的時間復(fù)雜度的比值關(guān)系如圖 7 所示。處理的 ROBLOCAM－CN 算法進(jìn)行對比，其估計誤差率 eer(t)對比效果如圖 4 所示。從對比結(jié)果中可以看到，若不對通信噪聲進(jìn)行處理則各自由節(jié)點和墻的位置始終存在偏差 ， 而 在ROBLOCAM－CN 算法下所有的自由節(jié)點與墻都迅速收斂至各自的精確位置，驗證了本算法的有效性和魯棒性。 各節(jié)點的收斂軌跡和*終的定位與環(huán)境構(gòu)建效果如圖 5 所示。
5 結(jié)束語
本文提出了一種噪聲情形下新穎的室內(nèi)定位與環(huán)境構(gòu)建算法，該算法不需要無線傳感器網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點配備激光傳感模塊，只需要通過節(jié)點間的射頻信號即可實現(xiàn)對周圍環(huán)境的感知，為室內(nèi)定位與環(huán)境構(gòu)建技術(shù)提供了一種經(jīng)濟(jì)且可靠的解決方案。